순서쌍과 좌표

HOOK · 이런 상황을 떠올려 봅시다

한 수로는 부족하다

수직선 위에서 점은 수 하나로 표현됐습니다. 그런데 우리가 사는 세상은 평면입니다.

🎯 1차원 — 수직선

수직선 위의 점은 수 하나로 정해집니다. 0보다 얼마나 오른쪽 / 왼쪽인지만 알면 됩니다.

🗺️ 2차원 — 평면

"내 자리는 칠판에서 3번째 줄, 왼쪽에서 4번째." → 한 줄 정보(가로) + 한 줄 정보(세로) = 두 수가 필요합니다.

한 수만으로 평면 위 점을 표현할 수 없습니다. "가로 정보 한 수 + 세로 정보 한 수" 이 두 수의 약속이 바로 좌표입니다.

CORE CONCEPT · 핵심 개념

수직선의 좌표 → 좌표평면의 좌표

1차원에서 2차원으로 확장. 이름과 약속만 새로 익히면 됩니다.

1D · 1차원

수직선 위의 좌표

수직선 위의 점은 수 하나로 표현. 점 P에 대응되는 수가 $a$이면 "점 P의 좌표가 $a$"라 하고 $P(a)$라 쓴다.

2D · 2차원

좌표평면 위의 좌표

좌표평면 위의 점은 두 수의 쌍으로 표현. 점 P의 가로 위치 $a$, 세로 위치 $b$이면 "점 P의 좌표가 $(a, b)$"라 하고 $P(a, b)$라 쓴다.

DEFINITION · 정의

좌표평면

가로의 수직선 ($x$축)과 세로의 수직선 ($y$축)이 한 점에서 직각으로 만나는 평면. 두 축이 만나는 점을 원점이라 하고 보통 $O$로 표시한다. 좌표평면은 좌표축에 의해 네 영역으로 나뉘며, 각각을 사분면이라 한다.

$x$축 · $y$축 · 원점 $O$ — 좌표평면의 3대 약속

DEFINITION · 정의

두 수를 순서대로 짝지어 묶은 것을 순서쌍이라 한다. 평면 위의 점 P에 대해 $x$축 방향 위치 $a$와 $y$축 방향 위치 $b$를 짝지은 순서쌍 $(a, b)$를 점 P의 좌표라 하고 $P(a, b)$로 쓴다.

이때 $a$를 $x$좌표, $b$를 $y$좌표라 하며 순서를 반드시 (가로, 세로) 순으로 적는다.

$P(3,\ 2) \neq P(2,\ 3)$ — 순서가 다르면 다른 점

KEY FACT · 알아둘 것

축 위의 점과 원점

좌표축 위에 있는 점들은 한 좌표가 항상 $0$이다.

• $x$축 위의 점 → $y$좌표 $= 0$ → 좌표는 $(a,\ 0)$ 꼴
• $y$축 위의 점 → $x$좌표 $= 0$ → 좌표는 $(0,\ b)$ 꼴
• 원점 → 두 좌표 모두 $0$ → $O(0,\ 0)$

원점은 $x$축 위이자 $y$축 위 — 두 축의 만남

INTERACTIVE · 좌표 플로터

직접 좌표 찍기

좌표를 보고 점을 찍거나, 점을 보고 좌표를 읽어내세요. 두 가지 모드를 번갈아 연습할 수 있습니다.

🎯 좌표평면 인터랙티브

아래 좌표평면을 클릭해 점을 찍어 보세요. 모드를 바꿔 다양한 연습이 가능합니다.

CLICKED POINT · 찍은 점의 좌표

( ?, ? )

평면 위 임의의 점을 클릭해 보세요. 자동으로 가장 가까운 격자점으로 스냅됩니다.

QUICK CHECK · 개념 확인

바로 확인하기

개념을 잘 익혔는지 짧게 점검합니다. 답은 숫자나 정수 형태로 입력하세요.

Q1점 $A(3,\ -2)$의 $x$좌표는?

Q2점 $A(3,\ -2)$의 $y$좌표는?

Q3점 $B(0,\ 5)$는 어느 축 위의 점인가? ($x$축이면 1, $y$축이면 2를 입력)

Q4점 $P$의 $x$좌표가 $-7$, $y$좌표가 $0$일 때, $x$좌표는?

Q5두 점 $A(2,\ 3)$과 $B(3,\ 2)$는 같은 점인가? (네: y, 아니오: n)

EXAMPLES · 모범 풀이

예제로 익히기

자주 나오는 유형 두 가지를 풀이의 흐름과 함께 익혀 봅니다.

EXAMPLE 01

좌표 읽기

좌표평면 위의 점 $P$의 $x$좌표는 $-2$이고, $y$좌표는 $4$이다. 점 $P$의 좌표를 $P(\,\,,\,\,)$ 꼴로 나타내시오.

좌표는 $(x$좌표, $y$좌표$)$ 순서로 쓴다.

$x$좌표 $= -2$, $y$좌표 $= 4$를 순서대로 대입.

∴ $P(-2,\ 4)$

EXAMPLE 02

좌표축 위의 점 판별

다음 점들의 위치를 판별하시오.
① $A(5,\ 0)$ ② $B(0,\ -3)$ ③ $C(-4,\ 2)$ ④ $D(0,\ 0)$

$y$좌표가 $0$인 점은 $x$축 위에 있다.

$x$좌표가 $0$인 점은 $y$축 위에 있다.

$x$좌표·$y$좌표가 모두 $0$이 아닌 점은 어느 축 위에도 있지 않다.

두 좌표가 모두 $0$인 점은 원점.

① $A$ : $x$축 위 / ② $B$ : $y$축 위 / ③ $C$ : 어느 축 위에도 없음 / ④ $D$ : 원점

PRACTICE · 연습 문제

단계별 문제 풀이

★(기본) → ★★(응용) → ★★★(심화) 순서로 풀어 봅니다.

P-01 · ★

점 $A(-3,\ 5)$에 대한 설명으로 옳은 것은?

좌표는 $(x$좌표, $y$좌표$)$의 순서.

$A(-3,\ 5)$ → $x$좌표 $= -3$, $y$좌표 $= 5$.

두 좌표가 모두 $0$이 아니므로 축 위의 점 아님.

P-02 · ★

점 $B(-1,\ 4)$의 $x$좌표를 구하시오.

순서쌍의 첫 번째 수가 $x$좌표.

$B(-1,\ 4)$ → $x$좌표 $= -1$.

P-03 · ★

$x$축 위의 점인 것은?

$x$축 위의 점은 $y$좌표가 $0$인 점.

$(-4, 0)$만 $y$좌표가 $0$이며 $x$좌표가 $0$이 아님.

$(0, 0)$도 $y$좌표가 $0$이지만 동시에 $x$좌표도 $0$ → 원점 (특수).

P-04 · ★★

점 $P(a,\ b)$가 $x$축 위의 점이고, $a = 5$일 때, $a + b$의 값을 구하시오.

$x$축 위의 점 → $y$좌표 $= 0$, 즉 $b = 0$.

$a + b = 5 + 0 = 5$.

P-05 · ★★

점 $Q(a-1,\ b+2)$가 원점일 때, $a + b$의 값을 구하시오.

원점은 $(0,\ 0)$이므로 $a - 1 = 0$, $b + 2 = 0$.

$a = 1$, $b = -2$.

$a + b = 1 + (-2) = -1$.

P-06 · ★★

다음 중 두 점이 좌표평면 위 같은 위치를 나타내는 것은?

순서쌍이 같은 두 점이 같은 점.

$x$좌표와 $y$좌표 모두 일치해야 함.

④번만 두 좌표가 동일.

P-07 · ★★★

점 $A(2a-4,\ 3a-6)$가 원점과 일치할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

원점이 되려면 $x$좌표·$y$좌표가 동시에 $0$.

$2a - 4 = 0$ → $a = 2$.

$3a - 6 = 0$ → $a = 2$.

두 조건이 모두 만족하는 $a = 2$가 정답.

검산: $a = 2$ → 점 $A(2 \cdot 2 - 4,\ 3 \cdot 2 - 6) = A(0, 0)$ ✓

P-08 · ★★★

좌표평면 위에 네 점 $A(0, 3)$, $B(-2, 1)$, $C(0, -3)$, $D(2, 1)$이 있다. 이 네 점 중 $y$축 위의 점의 개수는?

$y$축 위의 점은 $x$좌표 $= 0$인 점.

$A(0, 3)$ → $x = 0$ ✓ $B(-2, 1)$ → $x = -2$ ✗

$C(0, -3)$ → $x = 0$ ✓ $D(2, 1)$ → $x = 2$ ✗

$y$축 위의 점: $A, C$ → 2개.

WRAP-UP · 정리

이번 시간에 배운 것

📌 핵심 한 줄 요약

좌표평면 위의 모든 점은 두 수의 순서쌍 $(x, y)$로 정확히 표현되며, 그 역도 성립한다 — 모든 순서쌍은 평면 위 단 하나의 점.

좌표평면: $x$축(가로) + $y$축(세로) + 원점 $O$의 직각 교차.
점 $P$의 좌표 $(a, b)$ — $a$는 $x$좌표, $b$는 $y$좌표. 순서가 다르면 다른 점.
$x$축 위의 점: $(a, 0)$ 꼴 ($y$좌표 $= 0$).
$y$축 위의 점: $(0, b)$ 꼴 ($x$좌표 $= 0$).
원점 $O$ : $(0, 0)$ — 두 축이 만나는 단 하나의 점.